次の関数を微分する問題です。 (1) $y = \cos(\sin x)$ (2) $y = \sin^5 x \cos x$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $y = \cos(\sin x)$

(2) $y = \sin^5 x \cos x$

2. 解き方の手順

(1)

合成関数の微分を行います。まず、$u = \sin x$ と置くと、$y = \cos u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用いて微分します。

$\frac{dy}{du} = -\sin u$

$\frac{du}{dx} = \cos x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\sin u \cdot \cos x = -\sin (\sin x) \cos x$

(2)

積の微分法と合成関数の微分法を組み合わせます。

$y = f(x)g(x)$ のとき、$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ を用います。

$f(x) = \sin^5 x$ と $g(x) = \cos x$ と置くと、

$f'(x) = 5 \sin^4 x \cos x$

$g'(x) = -\sin x$

よって、

$y' = 5 \sin^4 x \cos x \cdot \cos x + \sin^5 x \cdot (-\sin x)$

$y' = 5 \sin^4 x \cos^2 x - \sin^6 x$

3. 最終的な答え

(1) $y' = -\sin(\sin x) \cos x$

(2) $y' = 5 \sin^4 x \cos^2 x - \sin^6 x$