2重積分 $\iint_D (x^2 + y^2) dxdy$ を、領域 $D = \{(x,y) | x^2 + y^2 \le 1\}$ 上で計算せよ。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_D (x^2 + y^2) dxdy$ を、領域 $D = \{(x,y) | x^2 + y^2 \le 1\}$ 上で計算せよ。

2. 解き方の手順

極座標変換 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を用いる。

$x^2 + y^2 = r^2$ となり、ヤコビアンは $r$ である。

領域 $D$ は $0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi$ と表せる。

したがって、積分は以下のようになる。

$\iint_D (x^2 + y^2) dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r dr d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 dr d\theta$

まず $r$ について積分する。

$\int_0^1 r^3 dr = \left[\frac{1}{4}r^4\right]_0^1 = \frac{1}{4}$

次に $\theta$ について積分する。

$\int_0^{2\pi} \frac{1}{4} d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} d\theta = \frac{1}{4} [\theta]_0^{2\pi} = \frac{1}{4} (2\pi - 0) = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$