与えられた定積分 $\int_{1}^{2} x^3 \log x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{1}^{2} x^3 \log x \, dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

部分積分の公式は

$\int u v' \, dx = uv - \int u' v \, dx$

です。

ここでは $u = \log x$、$v' = x^3$ とおきます。

すると $u' = \frac{1}{x}$、$v = \frac{x^4}{4}$ となります。

したがって、

$\int x^3 \log x \, dx = \frac{x^4}{4} \log x - \int \frac{1}{x} \frac{x^4}{4} \, dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \frac{x^4}{4} + C = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16} + C$

となります。

したがって、定積分は

$\int_{1}^{2} x^3 \log x \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16} \right]_{1}^{2} = \left( \frac{2^4}{4} \log 2 - \frac{2^4}{16} \right) - \left( \frac{1^4}{4} \log 1 - \frac{1^4}{16} \right) = \left( \frac{16}{4} \log 2 - \frac{16}{16} \right) - \left( \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{16} \right) = 4 \log 2 - 1 + \frac{1}{16} = 4 \log 2 - \frac{15}{16}$

となります。

3. 最終的な答え

$4 \log 2 - \frac{15}{16}$