与えられた積分 $\int_1^e \frac{\log x}{x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int_1^e \frac{\log x}{x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解きます。

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

ここでは、$u = \log x$ と $dv = \frac{1}{x^2} dx$ とおきます。

すると、$du = \frac{1}{x} dx$ と $v = \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x}$ となります。

したがって、

$\int_1^e \frac{\log x}{x^2} dx = \left[ -\frac{1}{x} \log x \right]_1^e - \int_1^e -\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} dx$

$= \left[ -\frac{\log x}{x} \right]_1^e + \int_1^e \frac{1}{x^2} dx$

$= \left( -\frac{\log e}{e} - \left( -\frac{\log 1}{1} \right) \right) + \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^e$

$= \left( -\frac{1}{e} - 0 \right) + \left( -\frac{1}{e} - (-1) \right)$

$= -\frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1$

$= 1 - \frac{2}{e}$

3. 最終的な答え

$\int_1^e \frac{\log x}{x^2} dx = 1 - \frac{2}{e}$