曲線 $C: y = x^3 + 1$ に点 $(0, -1)$ から引いた接線 $l$ の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^3 + 1$ に点 $(0, -1)$ から引いた接線 $l$ の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $C: y = x^3 + 1$ 上の点 $(t, t^3+1)$ における接線を考えます。

$y = x^3 + 1$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 3x^2$

したがって、点 $(t, t^3 + 1)$ における接線の傾きは $3t^2$ です。

よって、点 $(t, t^3 + 1)$ における接線の方程式は、

$y - (t^3 + 1) = 3t^2(x - t)$

$y = 3t^2x - 3t^3 + t^3 + 1$

$y = 3t^2x - 2t^3 + 1$

この接線が点 $(0, -1)$ を通るので、

$-1 = 3t^2(0) - 2t^3 + 1$

$-1 = -2t^3 + 1$

$2t^3 = 2$

$t^3 = 1$

$t = 1$

したがって、接点の座標は $(1, 2)$ であり、接線の傾きは $3(1)^2 = 3$ です。

接線の方程式は、$y = 3x - 2(1)^3 + 1 = 3x - 2 + 1$

$y = 3x - 1$

3. 最終的な答え

$y = 3x - 1$