二重積分 $\iint_D (x^2+y^2) \, dxdy$ を、領域 $D = \{(x,y) \, | \, 1 \le x^2 + y^2 \le 4\}$ で計算する問題です。

解析学重積分二重積分極座標変換積分
2025/7/15

1. 問題の内容

二重積分 D(x2+y2)dxdy\iint_D (x^2+y^2) \, dxdy を、領域 D={(x,y)1x2+y24}D = \{(x,y) \, | \, 1 \le x^2 + y^2 \le 4\} で計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、極座標変換を行います。x=rcosθx = r\cos\theta, y=rsinθy = r\sin\theta とおくと、x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2 となり、dxdy=rdrdθdxdy = r drd\theta となります。
領域 DD は、1x2+y241 \le x^2 + y^2 \le 4 より、1r241 \le r^2 \le 4 となり、1r21 \le r \le 2 となります。θ\theta00 から 2π2\pi まで変化します。
したがって、積分は次のようになります。
D(x2+y2)dxdy=02π12r2rdrdθ=02π12r3drdθ\iint_D (x^2+y^2) \, dxdy = \int_0^{2\pi} \int_1^2 r^2 \cdot r \, dr d\theta = \int_0^{2\pi} \int_1^2 r^3 \, dr d\theta
まず、rr に関する積分を計算します。
12r3dr=[14r4]12=14(2414)=14(161)=154\int_1^2 r^3 \, dr = \left[ \frac{1}{4}r^4 \right]_1^2 = \frac{1}{4}(2^4 - 1^4) = \frac{1}{4}(16 - 1) = \frac{15}{4}
次に、θ\theta に関する積分を計算します。
02π154dθ=15402πdθ=154[θ]02π=154(2π0)=1542π=15π2\int_0^{2\pi} \frac{15}{4} \, d\theta = \frac{15}{4} \int_0^{2\pi} d\theta = \frac{15}{4} [\theta]_0^{2\pi} = \frac{15}{4} (2\pi - 0) = \frac{15}{4} \cdot 2\pi = \frac{15\pi}{2}

3. 最終的な答え

15π2\frac{15\pi}{2}

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