領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1\}$ 上の重積分 $\iint_D 2 \, dx \, dy$ を極座標変換を用いて計算する問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1\}$ 上の重積分 $\iint_D 2 \, dx \, dy$ を極座標変換を用いて計算する問題です。

2. 解き方の手順

極座標変換 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を用います。

このとき、$dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ となり、積分領域は $0 \leq r \leq 1, 0 \leq \theta \leq 2\pi$ となります。

したがって、与えられた重積分は

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\iint_D 2 \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 2r \, dr \, d\theta

$$$$

と変換されます。

まず、$r$ に関する積分を計算します。

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\int_0^1 2r \, dr = [r^2]_0^1 = 1^2 - 0^2 = 1

$$$$

次に、$\theta$ に関する積分を計算します。

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\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = [\theta]_0^{2\pi} = 2\pi - 0 = 2\pi

$$$$

したがって、

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\iint_D 2 \, dx \, dy = 2\pi

$$$$

3. 最終的な答え

$2\pi$