次の極限値を求めます。$x > 0$ のとき、 $\lim_{n \to \infty} n (\sqrt[n]{x} - 1)$

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。$x > 0$ のとき、

$\lim_{n \to \infty} n (\sqrt[n]{x} - 1)$

2. 解き方の手順

まず、$x = e^{\log x}$ と変形します。

$\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} = (e^{\log x})^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{\log x}{n}}$

これより、極限は次のようになります。

$\lim_{n \to \infty} n(e^{\frac{\log x}{n}} - 1)$

ここで、$t = \frac{1}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $t \to 0$ となり、極限は次のように書き換えられます。

$\lim_{t \to 0} \frac{e^{t\log x} - 1}{t}$

これは、$f(t) = e^{t \log x}$ の $t = 0$ における微分係数の定義そのものです。

$f'(t) = (\log x) e^{t \log x}$ であるから、$f'(0) = \log x$ となります。

よって、

$\lim_{t \to 0} \frac{e^{t\log x} - 1}{t} = \log x$

3. 最終的な答え

$\log x$