放物線 $y = -2x^2$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線が、2点 $(1, 5)$ と $(2, 7)$ を通る。このとき、$p$ と $q$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線が、2点 $(1, 5)$ と $(2, 7)$ を通る。このとき、$p$ と $q$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

放物線 $y = -2x^2$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線の方程式は、

$y - q = -2(x - p)^2$

と表せる。これは、

$y = -2(x - p)^2 + q$

とも書ける。

この放物線が点 $(1, 5)$ を通るので、

$5 = -2(1 - p)^2 + q$

この放物線が点 $(2, 7)$ を通るので、

$7 = -2(2 - p)^2 + q$

この2つの式から $p$ と $q$ の値を求める。

1つ目の式より、

$q = 5 + 2(1 - p)^2$

2つ目の式に代入すると、

$7 = -2(2 - p)^2 + 5 + 2(1 - p)^2$

$2 = -2(4 - 4p + p^2) + 2(1 - 2p + p^2)$

$1 = -(4 - 4p + p^2) + (1 - 2p + p^2)$

$1 = -4 + 4p - p^2 + 1 - 2p + p^2$

$1 = -3 + 2p$

$4 = 2p$

$p = 2$

$q = 5 + 2(1 - 2)^2 = 5 + 2(-1)^2 = 5 + 2 = 7$

したがって、$p = 2$, $q = 7$

3. 最終的な答え

$p = 2$, $q = 7$