複素数 $z = \frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$ について、$z^n$ が実数となる最小の自然数 $n$ を求め、そのときの $z^n$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $z = \frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$ について、$z^n$ が実数となる最小の自然数 $n$ を求め、そのときの $z^n$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$z$ を簡単にするために分母を実数化します。

$z = \frac{1+i}{\sqrt{3}+i} = \frac{(1+i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)} = \frac{\sqrt{3} - i + i\sqrt{3} - i^2}{3 - i^2} = \frac{\sqrt{3} - i + i\sqrt{3} + 1}{3 + 1} = \frac{\sqrt{3}+1 + i(\sqrt{3}-1)}{4} = \frac{\sqrt{3}+1}{4} + i\frac{\sqrt{3}-1}{4}$

次に、$z$ を極形式で表します。$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくと、

$r = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}+1}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}-1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{3+2\sqrt{3}+1 + 3 - 2\sqrt{3}+1}{16}} = \sqrt{\frac{8}{16}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos\theta = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\sin\theta = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{4}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\theta = \frac{\pi}{12}$ である。

よって、$z = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12} \right)$

ド・モアブルの定理より、$z^n = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n \left( \cos\frac{n\pi}{12} + i\sin\frac{n\pi}{12} \right)$

$z^n$ が実数となるためには、$\sin\frac{n\pi}{12} = 0$ でなければならない。

$\frac{n\pi}{12} = k\pi$ ( $k$ は整数) となるので、$n = 12k$

$n$ が最小の自然数となるのは、$k=1$ のときで、$n=12$

$z^{12} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{12} \left( \cos\frac{12\pi}{12} + i\sin\frac{12\pi}{12} \right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{6} (\cos\pi + i\sin\pi) = \frac{1}{64} (-1 + 0i) = -\frac{1}{64}$

3. 最終的な答え

$n=12$

$z^{12} = -\frac{1}{64}$