原価200円のアイスクリームを昨年300円で売ったところ720個売れた。10円値上げするごとに売れる個数は15個減る。売上金額を最大にするには、1個何円で売ればよいか。

1. 問題の内容

原価200円のアイスクリームを昨年300円で売ったところ720個売れた。10円値上げするごとに売れる個数は15個減る。売上金額を最大にするには、1個何円で売ればよいか。

2. 解き方の手順

まず、値上げする回数を $x$ とします。

このとき、アイスクリームの値段は $300 + 10x$ 円になり、売れる個数は $720 - 15x$ 個になります。

売上金額 $S$ は、値段と個数を掛けたものなので、

$S = (300 + 10x)(720 - 15x)$

この式を展開して整理します。

$S = 216000 - 4500x + 7200x - 150x^2$

$S = -150x^2 + 2700x + 216000$

売上金額を最大にするには、この $x$ の二次関数を最大にする $x$ の値を求めればよいです。

二次関数の最大値は、頂点の $x$ 座標で求まります。

頂点の $x$ 座標は、 $x = -\frac{b}{2a}$ で求められます。

この問題の場合、$a = -150$, $b = 2700$ なので、

$x = -\frac{2700}{2 \times (-150)}$

$x = -\frac{2700}{-300}$

$x = 9$

したがって、9回値上げすると、売上金額が最大になります。

アイスクリームの値段は $300 + 10x$ なので、

$300 + 10 \times 9 = 300 + 90 = 390$ 円

3. 最終的な答え

390円