関数 $y = x^2 - 2ax - 2$ ($1 \le x \le 3$) の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax - 2$ ($1 \le x \le 3$) の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2ax - 2 = (x-a)^2 - a^2 - 2$

この関数の軸は $x = a$ である。定義域 $1 \le x \le 3$ における最大値を考える。

最大値は、軸から最も離れた $x$ の値で取ることが考えられる。

軸の位置によって場合分けを行う。

(1) $a < 2$ のとき

$a < 2$ より、$a$ が定義域の中央値である $x=2$ よりも左側にある。

したがって、$x=3$ で最大値を取る。

$x=3$ を代入すると、

$y = 3^2 - 2a(3) - 2 = 9 - 6a - 2 = -6a + 7$

(2) $a \ge 2$ のとき

$a \ge 2$ より、$a$ が定義域の中央値である $x=2$ よりも右側にある。

したがって、$x=1$ で最大値を取る。

$x=1$ を代入すると、

$y = 1^2 - 2a(1) - 2 = 1 - 2a - 2 = -2a - 1$

よって、

$a < 2$ のとき、最大値は $-6a+7$

$a \ge 2$ のとき、最大値は $-2a-1$

3. 最終的な答え

-6a + 7 (a < 2)

-2a - 1 (a ≥ 2)

なので、選択肢のエが正解。