関数 $y = 4x^2 - x - 9$ のグラフ上の点 $(-2, 9)$ における接線の式を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 4x^2 - x - 9$ のグラフ上の点 $(-2, 9)$ における接線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の導関数を求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = 8x - 1$

次に、点 $(-2, 9)$ における接線の傾きを求めます。これは、導関数に $x = -2$ を代入することで得られます。

$y'(-2) = 8(-2) - 1 = -16 - 1 = -17$

したがって、接線の傾きは $-17$ です。

次に、接線の式を求めます。接線の式は一般的に $y = mx + b$ の形で表されます。ここで、$m$ は傾き、$b$ はy切片です。私たちは傾き $m = -17$ をすでに知っており、接線が点 $(-2, 9)$ を通ることも知っています。これらの情報を接線の式に代入して、$b$ を求めます。

$9 = -17(-2) + b$

$9 = 34 + b$

$b = 9 - 34 = -25$

したがって、y切片は $-25$ です。

最後に、傾き $m = -17$ とy切片 $b = -25$ を接線の式 $y = mx + b$ に代入して、接線の式を求めます。

$y = -17x - 25$

3. 最終的な答え

$y = -17x - 25$