与えられた2つの関数 $f(\theta) = 2\cos^2\theta - 2\sin\theta$ と $g(\theta) = \sin\theta - \cos\theta - 1$ について、以下の問題を解く。 (1) $2\cos^2\theta$ を変形し、$f(\frac{\pi}{6})$ の値を求める。また、$g(\theta) = 0$ となる $\theta$ の値を求める。 (2) $f(\theta) = g(\theta)$ を満たす $\theta$ の値を求める。その際、$X = \cos\alpha$, $Y = \sin\alpha$ とおき、$X^2 + Y^2$ の値、$Y$ の値、$\tan\alpha$ の値を求め、$\tan 2\alpha$ の近似値を求める。 (3) $f(\theta) = g(\theta)$ を満たすもう一つの解 $\beta$ を求め、$\tan\frac{\alpha + \beta}{2}$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 $f(\theta) = 2\cos^2\theta - 2\sin\theta$ と $g(\theta) = \sin\theta - \cos\theta - 1$ について、以下の問題を解く。

(1) $2\cos^2\theta$ を変形し、$f(\frac{\pi}{6})$ の値を求める。また、$g(\theta) = 0$ となる $\theta$ の値を求める。

(2) $f(\theta) = g(\theta)$ を満たす $\theta$ の値を求める。その際、$X = \cos\alpha$, $Y = \sin\alpha$ とおき、$X^2 + Y^2$ の値、$Y$ の値、$\tan\alpha$ の値を求め、$\tan 2\alpha$ の近似値を求める。

(3) $f(\theta) = g(\theta)$ を満たすもう一つの解 $\beta$ を求め、$\tan\frac{\alpha + \beta}{2}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$2\cos^2\theta = 1 + \cos 2\theta$ が成り立つ。

次に、$f(\theta) = 1 + \cos 2\theta - 2\sin\theta$ に $\theta = \frac{\pi}{6}$ を代入すると、

$f(\frac{\pi}{6}) = 1 + \cos(\frac{\pi}{3}) - 2\sin(\frac{\pi}{6}) = 1 + \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$g(\theta) = \sin\theta - \cos\theta - 1 = 0$ を解く。

$\sin\theta - \cos\theta = 1$

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta) = 1$

$\sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$\theta = \frac{\pi}{2}, \pi$

(2)

$f(\theta) = g(\theta)$ を満たす $\theta$ を求める。

$2\cos^2\theta - 2\sin\theta = \sin\theta - \cos\theta - 1$

$1 + \cos 2\theta - 2\sin\theta = \sin\theta - \cos\theta - 1$

$2 + \cos 2\theta - 3\sin\theta + \cos\theta = 0$

$X = \cos\alpha$, $Y = \sin\alpha$ とおくと、$X^2 + Y^2 = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$

$Y = \sin\alpha = \frac{3}{5}$ より、$X^2 = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$X > 0$ より、$X = \frac{4}{5}$

$\tan\alpha = \frac{Y}{X} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$

$\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} = \frac{2(3/4)}{1 - (3/4)^2} = \frac{3/2}{1 - 9/16} = \frac{3/2}{7/16} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = \frac{24}{7} \approx 3.43$

選択肢の中で $\tan 2\alpha$ に最も近い値は $\frac{7}{2} = 3.5$

(3)

$f(\theta) = g(\theta)$ を満たすもう一つの解を $\beta$ とおく。

座標平面において、$X = \frac{4}{5}, Y = \frac{3}{5}$ の交点を考える。

$\tan\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{Y}{-X} = -\frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) ア: 2, イ: $\frac{1}{2}$, ウ: $\frac{\pi}{2}$, $\pi$

(2) エ: 1, オ: $\frac{4}{5}$, カ: 1, キ: $\frac{3}{5}$, ク: $\frac{3}{4}$, ケ: $\frac{7}{2}$

(3) コ: $-\frac{3}{4}$