与えられた二つの2階線形常微分方程式の初期値問題を解く問題です。 問題1: $y'' - 2y' + 2y = 0$, 初期条件: $y(0) = 1, y'(0) = 3$ 問題2: $y'' + y = 1$, 初期条件: $y(0) = 0, y'(0) = 0$

1. 問題の内容

与えられた二つの2階線形常微分方程式の初期値問題を解く問題です。

問題1: $y'' - 2y' + 2y = 0$, 初期条件: $y(0) = 1, y'(0) = 3$

問題2: $y'' + y = 1$, 初期条件: $y(0) = 0, y'(0) = 0$

2. 解き方の手順

**問題1: $y'' - 2y' + 2y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 3$**

ステップ1: 特性方程式を求める

微分方程式の特性方程式は、$r^2 - 2r + 2 = 0$ です。

ステップ2: 特性方程式の解を求める

特性方程式を解くと、$r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i$ となります。

ステップ3: 一般解を求める

特性方程式の解が複素数であるため、一般解は、$y(x) = e^x(c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x))$ となります。

ステップ4: 初期条件を用いて定数 $c_1$ と $c_2$ を決定する

$y(0) = 1$ を適用すると、$1 = e^0(c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) = c_1$ となり、$c_1 = 1$ が得られます。

$y'(x) = e^x(c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x)) + e^x(-c_1 \sin(x) + c_2 \cos(x))$

$y'(x) = e^x((c_1+c_2)\cos(x)+(c_2-c_1)\sin(x))$

$y'(0) = 3$ を適用すると、$3 = e^0((c_1+c_2)\cos(0) + (c_2-c_1)\sin(0)) = c_1 + c_2$ となり、$c_2 = 3 - c_1 = 3 - 1 = 2$ が得られます。

ステップ5: 初期条件を満たす解を記述する

したがって、解は $y(x) = e^x(\cos(x) + 2\sin(x))$ となります。

**問題2: $y'' + y = 1, y(0) = 0, y'(0) = 0$**

ステップ1: 同次方程式の解を求める

同次方程式 $y'' + y = 0$ の特性方程式は、$r^2 + 1 = 0$ です。この特性方程式の解は $r = \pm i$ です。

したがって、同次方程式の一般解は $y_h(x) = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x)$ です。

ステップ2: 特殊解を求める

非同次方程式 $y'' + y = 1$ の特殊解を $y_p(x) = A$ と仮定します。すると、$y_p'' = 0$ となり、方程式に代入すると、$0 + A = 1$, つまり、$A = 1$ となります。

したがって、特殊解は $y_p(x) = 1$ です。

ステップ3: 一般解を求める

一般解は、同次方程式の解と特殊解の和で与えられます。

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) + 1$

ステップ4: 初期条件を用いて定数 $c_1$ と $c_2$ を決定する

$y(0) = 0$ を適用すると、$0 = c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0) + 1 = c_1 + 1$, つまり、$c_1 = -1$ が得られます。

$y'(x) = -c_1 \sin(x) + c_2 \cos(x)$

$y'(0) = 0$ を適用すると、$0 = -c_1 \sin(0) + c_2 \cos(0) = c_2$, つまり、$c_2 = 0$ が得られます。

ステップ5: 初期条件を満たす解を記述する

したがって、解は $y(x) = -\cos(x) + 1 = 1 - \cos(x)$ となります。

3. 最終的な答え

問題1の答え: $y(x) = e^x(\cos(x) + 2\sin(x))$

問題2の答え: $y(x) = 1 - \cos(x)$