2つの問題があります。 問題1：領域 $D$ で常に $f_x(x, y) = a$, $f_y(x, y) = b$ ($a, b$ は定数) ならば $f(x, y) = ax + by + c$ ($c$ は定数) であることを証明せよ。 問題2：領域 $D$ で常に $f_x(x, y) = 2xy$, $f_y(x, y) = x^2$ ならば $f(x, y) = x^2y + c$ ($c$ は定数) であることを証明せよ。

1. 問題の内容

2つの問題があります。

問題1：領域 $D$ で常に $f_x(x, y) = a$, $f_y(x, y) = b$ ($a, b$ は定数) ならば $f(x, y) = ax + by + c$ ($c$ は定数) であることを証明せよ。

問題2：領域 $D$ で常に $f_x(x, y) = 2xy$, $f_y(x, y) = x^2$ ならば $f(x, y) = x^2y + c$ ($c$ は定数) であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

問題1：

$f_x(x, y) = a$ を $x$ について積分すると、

$f(x, y) = \int f_x(x, y) dx = \int a dx = ax + g(y)$ となります。ここで、$g(y)$ は $y$ のみの関数です。

次に、$f(x, y) = ax + g(y)$ を $y$ について偏微分すると、

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (ax + g(y)) = g'(y)$ となります。

問題文より、$f_y(x, y) = b$ なので、$g'(y) = b$ です。これを $y$ について積分すると、

$g(y) = \int g'(y) dy = \int b dy = by + c$ となります。ここで、$c$ は積分定数です。

したがって、$f(x, y) = ax + g(y) = ax + by + c$ となります。

問題2：

$f_x(x, y) = 2xy$ を $x$ について積分すると、

$f(x, y) = \int f_x(x, y) dx = \int 2xy dx = x^2y + g(y)$ となります。ここで、$g(y)$ は $y$ のみの関数です。

次に、$f(x, y) = x^2y + g(y)$ を $y$ について偏微分すると、

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (x^2y + g(y)) = x^2 + g'(y)$ となります。

問題文より、$f_y(x, y) = x^2$ なので、$x^2 + g'(y) = x^2$ です。したがって、$g'(y) = 0$ です。これを $y$ について積分すると、

$g(y) = \int g'(y) dy = \int 0 dy = c$ となります。ここで、$c$ は積分定数です。

したがって、$f(x, y) = x^2y + g(y) = x^2y + c$ となります。

3. 最終的な答え

問題1：$f(x, y) = ax + by + c$

問題2：$f(x, y) = x^2y + c$