問題は2つあります。 (1) 領域Dにおいて、常に $f_x(x, y) = a$, $f_y(x, y) = b$ (a, bは定数) ならば、$f(x, y) = ax + by + c$ (cは定数) であることを証明すること。 (2) 領域Dにおいて、常に $f_x(x, y) = 2xy$, $f_y(x, y) = x^2$ ならば、$f(x, y) = x^2 y + c$ (cは定数) であることを証明すること。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 領域Dにおいて、常に $f_x(x, y) = a$, $f_y(x, y) = b$ (a, bは定数) ならば、$f(x, y) = ax + by + c$ (cは定数) であることを証明すること。

(2) 領域Dにおいて、常に $f_x(x, y) = 2xy$, $f_y(x, y) = x^2$ ならば、$f(x, y) = x^2 y + c$ (cは定数) であることを証明すること。

2. 解き方の手順

(1) の証明

ステップ1: $f_x(x, y) = a$ をxについて積分します。

$f(x, y) = \int a dx = ax + g(y)$

ここで、$g(y)$ は積分定数であり、$y$ の関数です。

ステップ2: 上で求めた $f(x, y) = ax + g(y)$ を $y$ で偏微分します。

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (ax + g(y)) = g'(y)$

ステップ3: 問題文より、$f_y(x, y) = b$ であるから、$g'(y) = b$ となります。これを $y$ について積分します。

$g(y) = \int b dy = by + c$

ここで、$c$ は積分定数です。

ステップ4: $g(y)$ を $f(x, y)$ に代入します。

$f(x, y) = ax + g(y) = ax + by + c$

したがって、$f(x, y) = ax + by + c$ であることが証明されました。

(2) の証明

ステップ1: $f_x(x, y) = 2xy$ をxについて積分します。

$f(x, y) = \int 2xy dx = x^2 y + h(y)$

ここで、$h(y)$ は積分定数であり、$y$ の関数です。

ステップ2: 上で求めた $f(x, y) = x^2 y + h(y)$ を $y$ で偏微分します。

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 y + h(y)) = x^2 + h'(y)$

ステップ3: 問題文より、$f_y(x, y) = x^2$ であるから、$x^2 + h'(y) = x^2$ となります。したがって、$h'(y) = 0$ となります。これを $y$ について積分します。

$h(y) = \int 0 dy = c$

ここで、$c$ は積分定数です。

ステップ4: $h(y)$ を $f(x, y)$ に代入します。

$f(x, y) = x^2 y + h(y) = x^2 y + c$

したがって、$f(x, y) = x^2 y + c$ であることが証明されました。

3. 最終的な答え

(1) $f(x, y) = ax + by + c$

(2) $f(x, y) = x^2 y + c$