関数 $y = 3x^2 + 5x - 6$ のグラフ上の点 $(-3, 6)$ における接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 3x^2 + 5x - 6$ のグラフ上の点 $(-3, 6)$ における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1: 導関数を求めます。

関数 $y = 3x^2 + 5x - 6$ の導関数 $y'$ は、

$y' = \frac{dy}{dx} = 6x + 5$

となります。

ステップ2: 接線の傾きを求めます。

点 $(-3, 6)$ における接線の傾きは、導関数 $y'$ に $x = -3$ を代入することで求められます。

$y'(-3) = 6(-3) + 5 = -18 + 5 = -13$

したがって、接線の傾きは $-13$ です。

ステップ3: 接線の方程式を求めます。

接線の傾きが $m = -13$ で、点 $(-3, 6)$ を通る直線の方程式は、

$y - y_1 = m(x - x_1)$

の式を使って求められます。ここで、$(x_1, y_1) = (-3, 6)$ です。

$y - 6 = -13(x - (-3))$

$y - 6 = -13(x + 3)$

$y - 6 = -13x - 39$

$y = -13x - 39 + 6$

$y = -13x - 33$

3. 最終的な答え

$y = -13x - 33$