二次関数 $y = -3x^2 + 8x + 7$ のグラフ上の点 $(3,4)$ における接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -3x^2 + 8x + 7$ のグラフ上の点 $(3,4)$ における接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数を微分して、導関数を求める。

$y' = \frac{dy}{dx} = -6x + 8$

(2) 次に、$x=3$ における導関数の値を求める。これは、点 $(3,4)$ における接線の傾きを表す。

$y'(3) = -6(3) + 8 = -18 + 8 = -10$

(3) 点 $(3,4)$ を通り、傾きが $-10$ の直線の方程式を求める。点傾き式を用いる。

$y - y_1 = m(x - x_1)$

ここで、$(x_1, y_1) = (3, 4)$ であり、$m = -10$ であるから、

$y - 4 = -10(x - 3)$

$y - 4 = -10x + 30$

$y = -10x + 30 + 4$

$y = -10x + 34$

3. 最終的な答え

$y = -10x + 34$