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与えられた2次関数 $y = -2x^2 + 9x + 17$ のグラフ上の点 $(6, -1)$ における接線の方程式を求める問題です。

解析学微分接線二次関数
2025/3/31

1. 問題の内容

与えられた2次関数 y=−2x2+9x+17y = -2x^2 + 9x + 17 のグラフ上の点 (6,−1)(6, -1) における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を f(x)=−2x2+9x+17f(x) = -2x^2 + 9x + 17 とします。
次に、この関数を微分して、導関数 f′(x)f'(x) を求めます。
f′(x)=ddx(−2x2+9x+17)=−4x+9f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^2 + 9x + 17) = -4x + 9
次に、接点 x=6x=6 における導関数の値を計算します。これが接線の傾きになります。
f′(6)=−4(6)+9=−24+9=−15f'(6) = -4(6) + 9 = -24 + 9 = -15
したがって、接線の傾きは -15 です。
次に、接線の方程式を求めます。接線の式は y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) で表されます。ここで、(x1,y1)(x_1, y_1) は接点の座標 (6,−1)(6, -1) であり、mm は接線の傾き -15 です。
したがって、接線の方程式は以下のようになります。
y−(−1)=−15(x−6)y - (-1) = -15(x - 6)
y+1=−15x+90y + 1 = -15x + 90
y=−15x+90−1y = -15x + 90 - 1
y=−15x+89y = -15x + 89

3. 最終的な答え

y=−15x+89y = -15x + 89

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