与えられた関数 $y = -x^2 - 7x + 9$ のグラフ上の点 $(-6, 15)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = -x^2 - 7x + 9$ のグラフ上の点 $(-6, 15)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、接線の傾きを求めます。

$y = -x^2 - 7x + 9$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = -2x - 7$

次に、点 $(-6, 15)$ における接線の傾きを求めます。$x = -6$ を上記の式に代入すると、

$\frac{dy}{dx}|_{x=-6} = -2(-6) - 7 = 12 - 7 = 5$

したがって、点 $(-6, 15)$ における接線の傾きは $5$ です。

接線の式は、点傾斜式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで $(x_1, y_1) = (-6, 15)$ であり、$m = 5$ です。

よって、接線の方程式は

$y - 15 = 5(x - (-6))$

$y - 15 = 5(x + 6)$

$y - 15 = 5x + 30$

$y = 5x + 30 + 15$

$y = 5x + 45$

3. 最終的な答え

$y = 5x + 45$