関数 $y = -6x^2 - 9x + 3$ のグラフ上の点 $(-2, -3)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -6x^2 - 9x + 3$ のグラフ上の点 $(-2, -3)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数を求めます。

$y' = \frac{d}{dx} (-6x^2 - 9x + 3)$

$y' = -12x - 9$

次に、点 $(-2, -3)$ における接線の傾きを求めます。これは、導関数に $x = -2$ を代入することで得られます。

$m = y'(-2) = -12(-2) - 9$

$m = 24 - 9$

$m = 15$

これで、接線の傾きが15であることがわかりました。次に、点 $(-2, -3)$ を通り、傾きが15の直線の方程式を求めます。点傾斜式は以下の通りです。

$y - y_1 = m(x - x_1)$

ここに、$x_1 = -2$、$y_1 = -3$、$m = 15$ を代入すると、

$y - (-3) = 15(x - (-2))$

$y + 3 = 15(x + 2)$

$y + 3 = 15x + 30$

$y = 15x + 30 - 3$

$y = 15x + 27$

3. 最終的な答え

$y = 15x + 27$