関数 $y = x^2 - 2$ のグラフに、点 $(2, -7)$ から引いた接線の方程式を求め、もう一つの接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2$ のグラフに、点 $(2, -7)$ から引いた接線の方程式を求め、もう一つの接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, t^2 - 2)$ とおく。

次に、接線の方程式を求める。$y = x^2 - 2$ を微分すると $y' = 2x$ なので、接線の方程式は次のようになる。

$y - (t^2 - 2) = 2t(x - t)$

この接線が点 $(2, -7)$ を通るので、代入すると以下の式を得る。

$-7 - (t^2 - 2) = 2t(2 - t)$

$-7 - t^2 + 2 = 4t - 2t^2$

$t^2 - 4t - 5 = 0$

$(t - 5)(t + 1) = 0$

よって、$t = 5, -1$

$t=5$のとき、接点の座標は $(5, 23)$。傾きは $2 \cdot 5 = 10$。

接線の方程式は、$y - 23 = 10(x - 5)$より、$y = 10x - 27$となる。これは問題文に与えられている。

$t=-1$のとき、接点の座標は $(-1, -1)$。傾きは $2 \cdot (-1) = -2$。

接線の方程式は、$y - (-1) = -2(x - (-1))$より、$y + 1 = -2(x + 1)$、つまり $y = -2x - 3$。

3. 最終的な答え

$y = -2x - 3$