関数 $y = x^2 + x$ のグラフに点 $(2, -3)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。片方の接線の方程式はすでに $y = -x - 1$ と求められています。もう一方の接線の方程式を求める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + x$ のグラフに点 $(2, -3)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。片方の接線の方程式はすでに $y = -x - 1$ と求められています。もう一方の接線の方程式を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、接点を $(t, t^2 + t)$ とおきます。

次に、与えられた関数 $y = x^2 + x$ を微分して、接線の傾きを求めます。

$y' = 2x + 1$

したがって、点 $(t, t^2 + t)$ における接線の傾きは $2t + 1$ となります。

点 $(t, t^2 + t)$ を通り、傾きが $2t + 1$ の直線の方程式は次のようになります。

$y - (t^2 + t) = (2t + 1)(x - t)$

$y = (2t + 1)x - 2t^2 - t + t^2 + t$

$y = (2t + 1)x - t^2$

この直線が点 $(2, -3)$ を通るので、代入して $t$ を求めます。

$-3 = (2t + 1) \cdot 2 - t^2$

$-3 = 4t + 2 - t^2$

$t^2 - 4t - 5 = 0$

$(t - 5)(t + 1) = 0$

$t = 5, -1$

$t = -1$の時、接線の方程式は $y = (2(-1) + 1)x - (-1)^2$ より $y = -x - 1$ となります。これはすでに問題文で与えられています。

$t = 5$の時、接線の方程式は $y = (2(5) + 1)x - (5)^2$

$y = 11x - 25$

3. 最終的な答え

$y = 11x - 25$