関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフに点 $(-2, -12)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。与えられた接線の方程式は $y = -19x - 50$ であり、もう一つの接線の方程式を求める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフに点 $(-2, -12)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。与えられた接線の方程式は $y = -19x - 50$ であり、もう一つの接線の方程式を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, 2t^2 + t)$ と置きます。

次に、関数 $y = 2x^2 + x$ を微分して、導関数を求めます。

$y' = 4x + 1$

点 $(t, 2t^2 + t)$ における接線の傾きは $4t + 1$ となります。

したがって、接線の方程式は次のようになります。

$y - (2t^2 + t) = (4t + 1)(x - t)$

この接線は点 $(-2, -12)$ を通るので、これを代入します。

$-12 - (2t^2 + t) = (4t + 1)(-2 - t)$

$-12 - 2t^2 - t = -8t - 4t^2 - 2 - t$

$-12 - 2t^2 - t = -4t^2 - 9t - 2$

$2t^2 + 8t - 10 = 0$

$t^2 + 4t - 5 = 0$

$(t + 5)(t - 1) = 0$

したがって、$t = -5$ または $t = 1$ となります。

問題文より、与えられている接線は $t=-5$ のときのものであると分かります。

（$t=-5$のとき $y'=4t+1 = -19$ であり、$y = -19x +b$ に $(-2,-12)$を代入すると、$b=-50$ となる。）

したがって、$t=1$ の場合を計算します。

$t = 1$ のとき、接点の座標は $(1, 3)$ となり、接線の傾きは $4(1) + 1 = 5$ となります。

接線の方程式は次のようになります。

$y - 3 = 5(x - 1)$

$y - 3 = 5x - 5$

$y = 5x - 2$

3. 最終的な答え

$y=5x-2$