関数 $y = 2x^2 - 5x$ のグラフの接線のうち、直線 $y = 7x - 1$ に平行なものを求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 5x$ のグラフの接線のうち、直線 $y = 7x - 1$ に平行なものを求めよ。

2. 解き方の手順

1. 接線の傾きを求める。平行な直線の傾きは等しいので、接線の傾きは7となる。

2. 関数 $y = 2x^2 - 5x$ を微分して、導関数 $y'$ を求める。

3. $y' = 7$ となる $x$ の値を求める。この $x$ の値が接点の $x$ 座標となる。

4. 接点の $y$ 座標を求める。

5. 接点の座標と傾きを用いて、接線の方程式を求める。

導関数を計算します。

$y = 2x^2 - 5x$ を $x$ で微分すると、

$y' = 4x - 5$

接線の傾きは7なので、$y' = 7$ となる $x$ を求めます。

$4x - 5 = 7$

$4x = 12$

$x = 3$

接点の $x$ 座標は $x = 3$ です。

$x = 3$ を $y = 2x^2 - 5x$ に代入して、$y$ 座標を求めます。

$y = 2(3)^2 - 5(3) = 2(9) - 15 = 18 - 15 = 3$

接点の座標は $(3, 3)$ です。

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。

ここで、$(x_1, y_1) = (3, 3)$、$m = 7$ です。

$y - 3 = 7(x - 3)$

$y - 3 = 7x - 21$

$y = 7x - 18$

3. 最終的な答え

$y = 7x - 18$