与えられた連立一次方程式を、行列を用いて解く問題です。連立一次方程式は次の通りです。 $2x + 5y - z = 3$ $3x + 4y + 2z = 1$ $x - y + 7z = 2$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を、行列を用いて解く問題です。連立一次方程式は次の通りです。

$2x + 5y - z = 3$

$3x + 4y + 2z = 1$

$x - y + 7z = 2$

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式を行列で表現します。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 5 & -1 \\

3 & 4 & 2 \\

1 & -1 & 7

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

3 \\ 1 \\ 2

\end{pmatrix}

$$

係数行列をA、未知数ベクトルをX、定数ベクトルをBとすると、$AX = B$となります。

次に、係数行列Aの逆行列$A^{-1}$を求めます。

$$

A = \begin{pmatrix}

2 & 5 & -1 \\

3 & 4 & 2 \\

1 & -1 & 7

\end{pmatrix}

$$

Aの行列式を計算します。

$|A| = 2(4 \cdot 7 - 2 \cdot (-1)) - 5(3 \cdot 7 - 2 \cdot 1) + (-1)(3 \cdot (-1) - 4 \cdot 1)$

$|A| = 2(28 + 2) - 5(21 - 2) - 1(-3 - 4) = 2(30) - 5(19) - 1(-7) = 60 - 95 + 7 = -28$

次に、Aの余因子行列を求めます。

$$

C = \begin{pmatrix}

30 & -19 & -7 \\

-34 & 15 & 7 \\

14 & -7 & -7

\end{pmatrix}

$$

余因子行列の転置行列を求めます。

$$

C^T = \begin{pmatrix}

30 & -34 & 14 \\

-19 & 15 & -7 \\

-7 & 7 & -7

\end{pmatrix}

$$

逆行列$A^{-1}$は、$A^{-1} = \frac{1}{|A|}C^T$で与えられます。

$$

A^{-1} = \frac{1}{-28} \begin{pmatrix}

30 & -34 & 14 \\

-19 & 15 & -7 \\

-7 & 7 & -7

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

-\frac{15}{14} & \frac{17}{14} & -\frac{1}{2} \\

\frac{19}{28} & -\frac{15}{28} & \frac{1}{4} \\

\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4}

\end{pmatrix}

$$

最後に、$X = A^{-1}B$を計算します。

$$

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}

-\frac{15}{14} & \frac{17}{14} & -\frac{1}{2} \\

\frac{19}{28} & -\frac{15}{28} & \frac{1}{4} \\

\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4}

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

3 \\ 1 \\ 2

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-\frac{45}{14} + \frac{17}{14} - \frac{14}{14} \\

\frac{57}{28} - \frac{15}{28} + \frac{7}{28} \\

\frac{3}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-\frac{42}{14} \\

\frac{49}{28} \\

\frac{4}{4}

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-3 \\

\frac{7}{4} \\

1

\end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

$x = -3, y = \frac{7}{4}, z = 1$