定数 $a$ に対して、関数 $y = x^2 - 4ax + 2x + 4a^2 - 4a$ の $-5 \le x \le -3$ における最小値を、以下の3つの場合に分けて求めよ。 (ア) $a \le -2$ のとき (イ) $-2 \le a \le -1$ のとき (ウ) $-1 \le a$ のとき

1. 問題の内容

定数 $a$ に対して、関数 $y = x^2 - 4ax + 2x + 4a^2 - 4a$ の $-5 \le x \le -3$ における最小値を、以下の3つの場合に分けて求めよ。

(ア) $a \le -2$ のとき

(イ) $-2 \le a \le -1$ のとき

(ウ) $-1 \le a$ のとき

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = x^2 - 4ax + 2x + 4a^2 - 4a = x^2 + (2-4a)x + 4a^2 - 4a$

$y = (x + 1 - 2a)^2 - (1-2a)^2 + 4a^2 - 4a = (x + 1 - 2a)^2 - (1 - 4a + 4a^2) + 4a^2 - 4a$

$y = (x + 1 - 2a)^2 - 1 + 4a - 4a^2 + 4a^2 - 4a = (x + 1 - 2a)^2 - 1$

したがって、軸は $x = 2a - 1$ である。

(ア) $a \le -2$ のとき、 $2a - 1 \le -5$ となる。これは、軸 $x = 2a - 1$ が区間 $-5 \le x \le -3$ の左側にあることを意味する。したがって、$x = -3$ で最小値をとる。

$y = (-3)^2 - 4a(-3) + 2(-3) + 4a^2 - 4a = 9 + 12a - 6 + 4a^2 - 4a = 4a^2 + 8a + 3$

(イ) $-2 \le a \le -1$ のとき、 $-5 \le 2a - 1 \le -3$ となる。これは、軸 $x = 2a - 1$ が区間 $-5 \le x \le -3$ の範囲内にあることを意味する。したがって、$x = 2a - 1$ で最小値をとる。

$y = -1$

(ウ) $-1 \le a$ のとき、 $-3 \le 2a - 1$ となる。これは、軸 $x = 2a - 1$ が区間 $-5 \le x \le -3$ の右側にあることを意味する。したがって、$x = -5$ で最小値をとる。

$y = (-5)^2 - 4a(-5) + 2(-5) + 4a^2 - 4a = 25 + 20a - 10 + 4a^2 - 4a = 4a^2 + 16a + 15$

3. 最終的な答え

(ア) $a \le -2$ のとき、最小値は $4a^2 + 8a + 3$

(イ) $-2 \le a \le -1$ のとき、最小値は $-1$

(ウ) $-1 \le a$ のとき、最小値は $4a^2 + 16a + 15$