与えられた3x3行列の逆行列を求めます。与えられた行列は次の通りです。 $ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の逆行列を求めます。与えられた行列は次の通りです。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & 0 \\

1 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 1

\end{bmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列をAとします。逆行列を求めるために、拡大行列$[A | I]$を構成し、行基本変形を用いて$A$を単位行列$I$に変形します。その結果、拡大行列の右側の部分が$A$の逆行列となります。

$$

A = \begin{bmatrix}

1 & 1 & 0 \\

1 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 1

\end{bmatrix}

$$

$$

I = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$

拡大行列$[A | I]$は次のようになります。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\

1 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$

2行目から1行目を引きます（$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$）。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\

0 & -1 & 1 & | & -1 & 1 & 0 \\

0 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$

2行目に-1を掛けます（$R_2 \rightarrow -R_2$）。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & -1 & | & 1 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$

1行目から2行目を引きます（$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$）。

3行目から2行目を引きます（$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$）。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & | & 1 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 2 & | & -1 & 1 & 1

\end{bmatrix}

$$

3行目を2で割ります（$R_3 \rightarrow \frac{1}{2}R_3$）。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & | & 1 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 1 & | & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}

\end{bmatrix}

$$

1行目から3行目を引きます（$R_1 \rightarrow R_1 - R_3$）。

2行目に3行目を足します（$R_2 \rightarrow R_2 + R_3$）。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & | & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 1 & 0 & | & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\

0 & 0 & 1 & | & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}

\end{bmatrix}

$$

したがって、逆行列は次のようになります。

$$

A^{-1} = \begin{bmatrix}

\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\

\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\

-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}

\end{bmatrix}

$$

3. 最終的な答え

$$

\begin{bmatrix}

1/2 & 1/2 & -1/2 \\

1/2 & -1/2 & 1/2 \\

-1/2 & 1/2 & 1/2

\end{bmatrix}

$$