関数 $y = 5x^2 - 2x - 1$ のグラフの接線のうち、直線 $y = 8x + 9$ に平行なものを求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 5x^2 - 2x - 1$ のグラフの接線のうち、直線 $y = 8x + 9$ に平行なものを求める。

2. 解き方の手順

まず、接線の傾きを求める。関数 $y = 5x^2 - 2x - 1$ を微分すると、

$$\frac{dy}{dx} = 10x - 2$$

直線 $y = 8x + 9$ に平行な直線の傾きは 8 であるから、接線の傾きが 8 となる $x$ の値を求める。

$$10x - 2 = 8$$

$$10x = 10$$

$$x = 1$$

次に、$x = 1$ のときの $y$ の値を求める。

$$y = 5(1)^2 - 2(1) - 1 = 5 - 2 - 1 = 2$$

したがって、接点の座標は $(1, 2)$ である。

求める接線は、傾きが 8 で点 $(1, 2)$ を通るので、

$$y - 2 = 8(x - 1)$$

$$y - 2 = 8x - 8$$

$$y = 8x - 6$$

3. 最終的な答え

$y = 8x - 6$