異なる色の9個の玉を、指定された個数でいくつかの組に分ける場合の数を計算する問題です。 また、「KANNO」の5文字を1列に並べる場合の数を計算する問題です。

1. 問題の内容

異なる色の9個の玉を、指定された個数でいくつかの組に分ける場合の数を計算する問題です。

また、「KANNO」の5文字を1列に並べる場合の数を計算する問題です。

2. 解き方の手順

問題3

(1) 9個から4個選び、残りの5個から3個選び、さらに残りの2個から2個選ぶ組み合わせの数を計算します。

組み合わせの総数は、

$_{9}C_{4} \times _{5}C_{3} \times _{2}C_{2} = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{9!}{4!3!2!}$

$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = 126 \times 10 \times 1 = 1260$

(2) A, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける場合、まず9個からAに3個選び、残りの6個からBに3個選び、残りの3個からCに3個選ぶ組み合わせの数を計算します。

組み合わせの総数は、

$_{9}C_{3} \times _{6}C_{3} \times _{3}C_{3} = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!}$

$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = 84 \times 20 \times 1 = 1680$

(3) 3個ずつの3つの組に分ける場合、(2)と同様に計算しますが、組の区別がないため、3!で割る必要があります。

組み合わせの総数は、

$\frac{_{9}C_{3} \times _{6}C_{3} \times _{3}C_{3}}{3!} = \frac{9!}{3!3!3!3!} = \frac{1680}{6} = 280$

(4) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける場合、9個から2個選び、残りの7個から2個選び、残りの5個から2個選び、残りの3個から3個選ぶ組み合わせの数を計算します。組のうち、2個の組には区別がないため、3!で割る必要があります。

組み合わせの総数は、

$\frac{_{9}C_{2} \times _{7}C_{2} \times _{5}C_{2} \times _{3}C_{3}}{3!} = \frac{\frac{9!}{2!7!} \times \frac{7!}{2!5!} \times \frac{5!}{2!3!} \times \frac{3!}{3!0!}}{3!} = \frac{9!}{2!2!2!3!3!}$

$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{362880}{48} = 3780$

問題4

「KANNO」の5文字を1列に並べる場合、同じ文字である「N」が2つあるため、同じものを含む順列として計算します。

順列の総数は、

$\frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = \frac{120}{2} = 60$

3. 最終的な答え

問題3

(1) 1260通り

(2) 1680通り

(3) 280通り

(4) 3780通り

問題4

60通り