不定積分 $\int (-8x^3) dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (-8x^3) dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

不定積分の基本的な公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$、$C$は積分定数)を利用します。

まず、定数倍の性質より、積分記号の外に定数を出すことができます。

$\int (-8x^3) dx = -8 \int x^3 dx$

次に、$x^3$の積分を計算します。上記の公式において、$n=3$の場合を考えます。

$\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$

これらを組み合わせると、

$-8 \int x^3 dx = -8 (\frac{x^4}{4} + C) = -2x^4 + C'$ （ただし、$C' = -8C$も積分定数です。）

3. 最終的な答え

$-2x^4 + C$ (Cは積分定数)