不定積分 $\int 3x^3 dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int 3x^3 dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

不定積分の公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （$n \neq -1$、Cは積分定数）を利用します。

定数倍の性質 $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$ も利用します。

まず、定数3を積分の外に出します。

$\int 3x^3 dx = 3 \int x^3 dx$

次に、$\int x^3 dx$ を計算します。

$\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$

したがって、

$3 \int x^3 dx = 3 \left( \frac{x^4}{4} + C \right) = \frac{3}{4}x^4 + 3C$

$3C$ も積分定数であるため、$C'$ と書き換えます。

$\frac{3}{4}x^4 + C'$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}x^4 + C$