図のような道路のある町で、P地点からQ地点まで最短経路で行く場合の数を求める問題です。 (1) R地点を通る経路の総数 (2) ×印の地点を通らない経路の総数 (3) R地点を通り、かつ×印の地点を通らない経路の総数 をそれぞれ求めます。

離散数学場合の数組み合わせ最短経路順列
2025/7/2

1. 問題の内容

図のような道路のある町で、P地点からQ地点まで最短経路で行く場合の数を求める問題です。
(1) R地点を通る経路の総数
(2) ×印の地点を通らない経路の総数
(3) R地点を通り、かつ×印の地点を通らない経路の総数
をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

経路の総数は、右に進む回数と上に進む回数が決まれば一意に定まることを利用します。
(1) R地点を通る経路の総数
PからRまでの経路数と、RからQまでの経路数をそれぞれ求め、それらの積を計算します。
PからRまでは、右に2回、上に2回進むので、経路数は
4!2!2!=4×32×1=6\frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
RからQまでは、右に4回、上に4回進むので、経路数は
8!4!4!=8×7×6×54×3×2×1=70\frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70
したがって、Rを通る経路の総数は
6×70=4206 \times 70 = 420
(2) ×印の箇所を通らない経路の総数
PからQまでの経路の総数を求め、次に×印を通る経路の総数を求め、それらを引くことで求めます。
PからQまでの経路の総数は、右に6回、上に6回進むので
12!6!6!=12×11×10×9×8×76×5×4×3×2×1=924\frac{12!}{6!6!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924
次に、×印を通る経路の総数を求めます。
Pから×印までは、右に3回、上に2回進むので、経路数は
5!3!2!=5×42×1=10\frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
×印からQまでは、右に3回、上に4回進むので、経路数は
7!3!4!=7×6×53×2×1=35\frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35
したがって、×印を通る経路の総数は
10×35=35010 \times 35 = 350
したがって、×印を通らない経路の総数は
924350=574924 - 350 = 574
(3) Rを通り、×印の箇所は通らない経路の総数
Rを通る経路の総数から、Rを通り、かつ×印を通る経路の総数を引くことで求めます。
Rを通り、かつ×印を通る経路の総数を求めます。
PからRまでは、右に2回、上に2回進むので、経路数は
4!2!2!=4×32×1=6\frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
Rから×印までは、右に1回進むので、経路数は1通り。
×印からQまでは、右に3回、上に4回進むので、経路数は
7!3!4!=7×6×53×2×1=35\frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35
したがって、Rを通り、×印を通る経路の総数は
6×1×35=2106 \times 1 \times 35 = 210
したがって、Rを通り、×印を通らない経路の総数は
420210=210420 - 210 = 210

3. 最終的な答え

(1) 420通り
(2) 574通り
(3) 210通り

「離散数学」の関連問題

「CAREFUL」の7文字をすべて用いて並べる順列のうち、母音と子音が交互に並ぶ並べ方は何通りあるかを求める問題です。

順列組み合わせ文字列場合の数
2025/7/8

東西に5本、南北に6本の道がある。点Aから点Bへ行く最短経路は何通りあるか。

組み合わせ最短経路組合せ論
2025/7/8

(7) CAREFULの7文字をすべて用いて並べるとき、母音と子音が交互に並ぶような並べ方は何通りあるか。

順列組み合わせ場合の数文字列
2025/7/8

命題「($p$ または $q$) $\Rightarrow$ $r$」が真であるとき、以下の5つの命題の真偽を判定する問題です。 (1) $p$ $\Rightarrow$ $\overline{r}...

論理命題論理真偽判定対偶ド・モルガンの法則
2025/7/8

無限集合 $X$ の部分集合 $A$ について、次の命題の真偽を判定し、正しい場合は証明、正しくない場合は反例を挙げよ。 (1) $A$ が有限集合ならば、$X-A$ は $X$ と対等である...

集合論濃度可算集合非可算集合べき集合対等
2025/7/8

集合$A$と$B$について、以下の2つの命題を証明する。 (1) $A$から$B$への単射が存在するための必要十分条件は、$B$から$A$への全射が存在すること。 (2) $A$から$B$への単射$f...

集合論写像単射全射全単射ベルンシュタインの定理
2025/7/8

問題8は、以下の集合に関する定義を述べる問題です。 (1) 集合Aと集合Bが対等である。 (2) 集合Aが有限集合である。集合Bが無限集合である。 (3) 集合Aが可算集合である。集合Bが高々可算であ...

集合論集合対等有限集合無限集合可算集合高々可算非可算集合ベキ集合全単射部分集合
2025/7/8

与えられた画像にある問題は以下の通りです。 * 7.3節(p.80)の7.12: 図7.11(a)のグラフGにおいて、(1) $x$と$z$を結ぶ長さ4の道、(2) $x$と$z$を結ぶ長さ5の小...

グラフ理論小道歩道オイラー回路ハミルトン閉路グラフ
2025/7/8

9冊の異なる本を以下の条件で分ける方法の数を求める問題です。 (1) 3冊ずつ3人に分ける。 (2) 3冊ずつ3組に分ける。 (3) 2冊, 3冊, 4冊の3組に分ける。 (4) 2冊, 2冊, 5冊...

組み合わせ場合の数順列組合せ
2025/7/7

全体集合$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ が与えられています。 $A$ は $U$ の要素のうち偶数全体の集合、つまり $A = \{2, 4, 6, 8\}$ ...

集合集合演算補集合共通部分和集合
2025/7/7