三角形OABにおいて、OA=4, OB=5, AB=6であり、三角形の重心をHとする。ベクトルOA = $\vec{a}$, ベクトルOB = $\vec{b}$ とするとき、 (1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。 (2) ベクトルOHを $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、OA=4, OB=5, AB=6であり、三角形の重心をHとする。ベクトルOA = $\vec{a}$, ベクトルOB = $\vec{b}$ とするとき、

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

(2) ベクトルOHを $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$ である。

$|\vec{AB}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2$

よって、

$|\vec{a}|^2 = 4^2 = 16$

$|\vec{b}|^2 = 5^2 = 25$

$|\vec{AB}|^2 = 6^2 = 36$

$36 = 25 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 16$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 25 + 16 - 36 = 5$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{5}{2}$

(2) ベクトルOHを $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表す。

重心Hは、ベクトルOH = $(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OO})/3$ で与えられる. Oは原点なので、 $\vec{OO} = \vec{0}$ である。

よって $\vec{OH} = (\vec{OA} + \vec{OB})/3 = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b})$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{5}{2}$

(2) $\vec{OH} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$