点 $(6, 3, -4)$ を通り、ベクトル $(-1, 1, 4)$ に平行な直線 $l$ と、点 $(2, 4, 6)$ を中心とする半径3の球面との交点の座標を求める。

1. 問題の内容

点 $(6, 3, -4)$ を通り、ベクトル $(-1, 1, 4)$ に平行な直線 $l$ と、点 $(2, 4, 6)$ を中心とする半径3の球面との交点の座標を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1: 直線 $l$ のパラメータ表示を求める。

点 $(6, 3, -4)$ を通りベクトル $(-1, 1, 4)$ に平行な直線 $l$ は、パラメータ $t$ を用いて以下のように表される。

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\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-t \\ 3+t \\ -4+4t \end{pmatrix}

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したがって、直線 $l$ 上の点は $(6-t, 3+t, -4+4t)$ と表せる。

ステップ2: 球面の方程式を求める。

点 $(2, 4, 6)$ を中心とする半径3の球面の方程式は、

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(x-2)^2 + (y-4)^2 + (z-6)^2 = 3^2 = 9

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ステップ3: 直線と球面の交点を求める。

直線 $l$ 上の点が球面上にあるとき、以下の方程式が成り立つ。

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(6-t-2)^2 + (3+t-4)^2 + (-4+4t-6)^2 = 9

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これを整理すると、

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(4-t)^2 + (t-1)^2 + (4t-10)^2 = 9

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16 - 8t + t^2 + t^2 - 2t + 1 + 16t^2 - 80t + 100 = 9

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18t^2 - 90t + 117 = 9

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18t^2 - 90t + 108 = 0

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2t^2 - 10t + 12 = 0

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t^2 - 5t + 6 = 0

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(t-2)(t-3) = 0

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したがって、$t = 2, 3$。

ステップ4: 交点の座標を求める。

$t=2$ のとき、交点の座標は $(6-2, 3+2, -4+4(2)) = (4, 5, 4)$。

$t=3$ のとき、交点の座標は $(6-3, 3+3, -4+4(3)) = (3, 6, 8)$。

3. 最終的な答え

交点の座標は $(4, 5, 4)$ と $(3, 6, 8)$ である。