四面体 $OABC$ において、$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{4}$ で定まる点 $G$ がある。直線 $AG$ と三角形 $OBC$ の交点を $R$ とするとき、位置ベクトル $\vec{OR}$ を $\vec{OB}$ と $\vec{OC}$ で表せ。

1. 問題の内容

四面体 $OABC$ において、$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{4}$ で定まる点 $G$ がある。直線 $AG$ と三角形 $OBC$ の交点を $R$ とするとき、位置ベクトル $\vec{OR}$ を $\vec{OB}$ と $\vec{OC}$ で表せ。

2. 解き方の手順

点 $R$ は直線 $AG$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて

$$\vec{OR} = (1-k)\vec{OA} + k\vec{OG}$$

と表せる。$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{4}$ を代入すると、

$$\vec{OR} = (1-k)\vec{OA} + k\frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{4} = (1 - \frac{3}{4}k)\vec{OA} + \frac{k}{4}\vec{OB} + \frac{k}{4}\vec{OC}$$

点 $R$ は三角形 $OBC$ 上にあるので、$\vec{OA}$ の係数が $0$ になる。したがって、

$$1 - \frac{3}{4}k = 0$$

$$k = \frac{4}{3}$$

これを代入すると、

$$\vec{OR} = \frac{1}{3}\vec{OB} + \frac{1}{3}\vec{OC}$$

3. 最終的な答え

$$\vec{OR} = \frac{1}{3}\vec{OB} + \frac{1}{3}\vec{OC}$$