三角形OABにおいて、$OA=4$, $OB=5$, $AB=6$とし、重心をHとする。$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$とする。 (1) 内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$を求めよ。 (2) $\vec{OH}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$OA=4$, $OB=5$, $AB=6$とし、重心をHとする。$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$とする。

(1) 内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$を求めよ。

(2) $\vec{OH}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$を求める。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$

$|\vec{AB}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2$

$6^2 = 5^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 4^2$

$36 = 25 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 16$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 25 + 16 - 36 = 5$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{5}{2}$

(2) $\vec{OH}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表す。

重心Hは、$\vec{OH} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OO}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{0}}{3} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{5}{2}$

(2) $\vec{OH} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$