三角形OABにおいて、OA=4, OB=5, AB=6とし、垂心をHとする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$とする。 (1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。 (2) $\vec{OH}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表せ。

## 回答

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、OA=4, OB=5, AB=6とし、垂心をHとする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$とする。

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。

(2) $\vec{OH}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$

$|\vec{AB}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2$

$|\vec{AB}|^2 = 6^2 = 36$

$|\vec{a}|^2 = 4^2 = 16$

$|\vec{b}|^2 = 5^2 = 25$

よって、

$36 = 25 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 16$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 25 + 16 - 36 = 5$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{5}{2}$

(2) $\vec{OH}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表す。

$\vec{OH} = s\vec{a} + t\vec{b}$ とおく。

$AH \perp OB$ より $\vec{AH} \cdot \vec{OB} = 0$

$\vec{AH} = \vec{OH} - \vec{OA} = s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{a} = (s-1)\vec{a} + t\vec{b}$

$\vec{AH} \cdot \vec{OB} = ((s-1)\vec{a} + t\vec{b}) \cdot \vec{b} = (s-1)(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t|\vec{b}|^2 = 0$

$(s-1)\frac{5}{2} + t(25) = 0$

$5(s-1) + 50t = 0$

$s - 1 + 10t = 0$

$s + 10t = 1$

$BH \perp OA$ より $\vec{BH} \cdot \vec{OA} = 0$

$\vec{BH} = \vec{OH} - \vec{OB} = s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{b} = s\vec{a} + (t-1)\vec{b}$

$\vec{BH} \cdot \vec{OA} = (s\vec{a} + (t-1)\vec{b}) \cdot \vec{a} = s|\vec{a}|^2 + (t-1)(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

$s(16) + (t-1)\frac{5}{2} = 0$

$32s + 5(t-1) = 0$

$32s + 5t - 5 = 0$

$32s + 5t = 5$

$s + 10t = 1$ より $s = 1 - 10t$

$32(1 - 10t) + 5t = 5$

$32 - 320t + 5t = 5$

$-315t = -27$

$t = \frac{27}{315} = \frac{3}{35}$

$s = 1 - 10(\frac{3}{35}) = 1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$

$\vec{OH} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{3}{35}\vec{b}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{5}{2}$

(2) $\vec{OH} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{3}{35}\vec{b}$