以下の2つの条件を満たす2次関数を求めます。 (1) 頂点が $(2, 15)$ であり、点 $(1, 13)$ を通る。 (2) 3点 $(1, 6)$, $(-1, 0)$, $(-2, 3)$ を通る。

1. 問題の内容

以下の2つの条件を満たす2次関数を求めます。

(1) 頂点が $(2, 15)$ であり、点 $(1, 13)$ を通る。

(2) 3点 $(1, 6)$, $(-1, 0)$, $(-2, 3)$ を通る。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標がわかっているので、2次関数を $y = a(x - p)^2 + q$ の形（頂点形式）で表すことができます。頂点が $(2, 15)$ であることから、$p = 2$, $q = 15$ となります。したがって、

$y = a(x - 2)^2 + 15$

次に、このグラフが点 $(1, 13)$ を通ることから、この点の座標を代入して $a$ の値を求めます。

$13 = a(1 - 2)^2 + 15$

$13 = a(-1)^2 + 15$

$13 = a + 15$

$a = 13 - 15$

$a = -2$

よって、求める2次関数は $y = -2(x - 2)^2 + 15$ です。これを展開して整理すると、

$y = -2(x^2 - 4x + 4) + 15$

$y = -2x^2 + 8x - 8 + 15$

$y = -2x^2 + 8x + 7$

(2) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおきます。このグラフが3点 $(1, 6)$, $(-1, 0)$, $(-2, 3)$ を通ることから、それぞれの点の座標を代入して3つの式を立てます。

$6 = a(1)^2 + b(1) + c \Rightarrow a + b + c = 6$

$0 = a(-1)^2 + b(-1) + c \Rightarrow a - b + c = 0$

$3 = a(-2)^2 + b(-2) + c \Rightarrow 4a - 2b + c = 3$

これら3つの式から $a$, $b$, $c$ を求めます。

まず、最初の2つの式から $c$ を消去します。

$(a + b + c) - (a - b + c) = 6 - 0$

$2b = 6$

$b = 3$

次に、求めた $b = 3$ を最初の2つの式と3つ目の式に代入します。

$a + 3 + c = 6 \Rightarrow a + c = 3$

$a - 3 + c = 0 \Rightarrow a + c = 3$

$4a - 2(3) + c = 3 \Rightarrow 4a + c = 9$

$4a + c = 9$ から $a + c = 3$ を引くと、

$(4a + c) - (a + c) = 9 - 3$

$3a = 6$

$a = 2$

$a = 2$ を $a + c = 3$ に代入すると、

$2 + c = 3$

$c = 1$

よって、$a = 2$, $b = 3$, $c = 1$ であるから、求める2次関数は $y = 2x^2 + 3x + 1$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 8x + 7$

(2) $y = 2x^2 + 3x + 1$