$a$ を0でない定数とする。すべての $x$ に対して、$ax^2 + 2ax - 3 + \frac{4}{a} < 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$ を0でない定数とする。すべての $x$ に対して、$ax^2 + 2ax - 3 + \frac{4}{a} < 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を整理する。

$ax^2 + 2ax - 3 + \frac{4}{a} < 0$

$a$ の符号で場合分けして考える。

(1) $a > 0$ のとき

すべての $x$ で $ax^2 + 2ax - 3 + \frac{4}{a} < 0$ が成り立つためには、放物線 $y = ax^2 + 2ax - 3 + \frac{4}{a}$ が常に $x$ 軸より下になければならない。

これは、放物線が上に凸 ($a < 0$) であり、かつ判別式 $D < 0$ であることが必要となる。

しかし、$a > 0$ の場合、放物線は下に凸なので、条件を満たすことはない。

(2) $a < 0$ のとき

すべての $x$ で $ax^2 + 2ax - 3 + \frac{4}{a} < 0$ が成り立つためには、放物線 $y = ax^2 + 2ax - 3 + \frac{4}{a}$ が常に $x$ 軸より下になければならない。

これは、放物線が上に凸 ($a < 0$) であり、かつ判別式 $D < 0$ であることが必要十分条件である。

判別式 $D$ を計算する。

$D/4 = a^2 - a(-3 + \frac{4}{a}) = a^2 + 3a - 4$

$D/4 < 0$ より

$a^2 + 3a - 4 < 0$

$(a+4)(a-1) < 0$

$-4 < a < 1$

$a < 0$ より、$-4 < a < 0$

3. 最終的な答え

$-4 < a < 0$