$(2x^{-1} + \frac{1}{3}x^{2})^5$ の展開を求める問題です。二項定理を用いて展開します。

1. 問題の内容

$(2x^{-1} + \frac{1}{3}x^{2})^5$ の展開を求める問題です。二項定理を用いて展開します。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて $(a+b)^n$ を展開します。二項定理は以下の通りです。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

ここで $\binom{n}{k}$ は二項係数で $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ です。

今回の問題では、$a = 2x^{-1}$, $b = \frac{1}{3}x^2$, $n = 5$ です。

したがって、

$(2x^{-1} + \frac{1}{3}x^{2})^5 = \sum_{k=0}^5 \binom{5}{k} (2x^{-1})^{5-k} (\frac{1}{3}x^{2})^k$

$= \binom{5}{0} (2x^{-1})^5 (\frac{1}{3}x^{2})^0 + \binom{5}{1} (2x^{-1})^4 (\frac{1}{3}x^{2})^1 + \binom{5}{2} (2x^{-1})^3 (\frac{1}{3}x^{2})^2 + \binom{5}{3} (2x^{-1})^2 (\frac{1}{3}x^{2})^3 + \binom{5}{4} (2x^{-1})^1 (\frac{1}{3}x^{2})^4 + \binom{5}{5} (2x^{-1})^0 (\frac{1}{3}x^{2})^5$

$= 1 \cdot 32x^{-5} \cdot 1 + 5 \cdot 16x^{-4} \cdot \frac{1}{3}x^{2} + 10 \cdot 8x^{-3} \cdot \frac{1}{9}x^{4} + 10 \cdot 4x^{-2} \cdot \frac{1}{27}x^{6} + 5 \cdot 2x^{-1} \cdot \frac{1}{81}x^{8} + 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{243}x^{10}$

$= 32x^{-5} + \frac{80}{3}x^{-2} + \frac{80}{9}x + \frac{40}{27}x^{4} + \frac{10}{81}x^{7} + \frac{1}{243}x^{10}$

3. 最終的な答え

$32x^{-5} + \frac{80}{3}x^{-2} + \frac{80}{9}x + \frac{40}{27}x^{4} + \frac{10}{81}x^{7} + \frac{1}{243}x^{10}$