$x+2y=6$、$x \ge 0$、$y \ge 0$ のとき、次の式の最大値と最小値を求めます。 (1) $xy$

1. 問題の内容

$x+2y=6$、$x \ge 0$、$y \ge 0$ のとき、次の式の最大値と最小値を求めます。

(1) $xy$

2. 解き方の手順

(1) $x+2y=6$ より、$x=6-2y$ です。

$x \ge 0$ より、$6-2y \ge 0$ なので、$2y \le 6$、$y \le 3$ です。

また、$y \ge 0$ なので、$0 \le y \le 3$となります。

$xy = (6-2y)y = 6y - 2y^2 = -2y^2 + 6y = -2(y^2 - 3y) = -2( (y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} ) = -2(y-\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2}$ となります。

これは、$y=\frac{3}{2}$のとき最大値$\frac{9}{2}$をとります。

$y=0$ のとき、$xy = 0$ です。

$y=3$ のとき、$xy=0$ です。

$y=\frac{3}{2}$ のとき、$x=6-2(\frac{3}{2}) = 6-3 = 3$ となり、$x=3$、$y=\frac{3}{2}$のとき、$xy=\frac{9}{2}$ をとります。

$y=0$のとき、$x=6$、$x=6$、$y=0$のとき、$xy=0$ です。

したがって、$xy$ の最大値は $\frac{9}{2}$ で、最小値は $0$ です。

3. 最終的な答え

(1)

最大値：$\frac{9}{2}$ ($x=3, y=\frac{3}{2}$のとき)

最小値：$0$ ($x=6, y=0$または $x=0, y=3$のとき)