放物線 $y = ax^2 + bx + c$ の頂点の座標が $(1, -3)$ であり、点 $(0, -1)$ を通るとき、$a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2 + bx + c$ の頂点の座標が $(1, -3)$ であり、点 $(0, -1)$ を通るとき、$a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

頂点の座標が $(1, -3)$ であることから、放物線の式を頂点形に変形できる。

$y = a(x-1)^2 - 3$

この放物線が点 $(0, -1)$ を通ることから、上記の式に $x = 0$, $y = -1$ を代入する。

$-1 = a(0-1)^2 - 3$

$-1 = a - 3$

$a = 2$

したがって、放物線の式は $y = 2(x-1)^2 - 3$ となる。

これを展開して、一般形 $y = ax^2 + bx + c$ に直す。

$y = 2(x^2 - 2x + 1) - 3$

$y = 2x^2 - 4x + 2 - 3$

$y = 2x^2 - 4x - 1$

よって、$a = 2$, $b = -4$, $c = -1$ である。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -4$

$c = -1$