次の和を求めよ。 $\sum_{k=1}^n (3k-1)^2 = 2^2 + 5^2 + 8^2 + \dots + (3n-1)^2$

1. 問題の内容

次の和を求めよ。

$\sum_{k=1}^n (3k-1)^2 = 2^2 + 5^2 + 8^2 + \dots + (3n-1)^2$

2. 解き方の手順

まず、$(3k-1)^2$を展開します。

$(3k-1)^2 = 9k^2 - 6k + 1$

次に、$\sum_{k=1}^n (3k-1)^2$ を計算します。

$\sum_{k=1}^n (3k-1)^2 = \sum_{k=1}^n (9k^2 - 6k + 1)$

$\sum_{k=1}^n$の線形性から、

$\sum_{k=1}^n (9k^2 - 6k + 1) = 9\sum_{k=1}^n k^2 - 6\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^n 1 = n$を利用します。

$9\sum_{k=1}^n k^2 - 6\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1 = 9\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6\frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{3}{2}n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1) + n$

$= \frac{3}{2}n(2n^2+3n+1) - 3n^2 - 3n + n$

$= 3n^3 + \frac{9}{2}n^2 + \frac{3}{2}n - 3n^2 - 2n$

$= 3n^3 + \frac{3}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$

$= \frac{n}{2}(6n^2 + 3n - 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{n(6n^2+3n-1)}{2}$