数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n = n^2 - 4n$で与えられているとき、その数列の一般項$a_n$を求めよ。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、問題6を解きます。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n = n^2 - 4n$で与えられているとき、その数列の一般項$a_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

数列の和と一般項の関係は以下の通りです。

$a_1 = S_1$

$a_n = S_n - S_{n-1} \quad (n \geq 2)$

まず、$a_1$を求めます。

$S_1 = 1^2 - 4(1) = 1 - 4 = -3$

したがって、$a_1 = -3$

次に、$n \geq 2$のとき、$a_n$を求めます。

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 4n) - ((n-1)^2 - 4(n-1))$

$= n^2 - 4n - (n^2 - 2n + 1 - 4n + 4)$

$= n^2 - 4n - (n^2 - 6n + 5)$

$= n^2 - 4n - n^2 + 6n - 5$

$= 2n - 5$

この式が$n=1$のときにも成り立つか確認します。

$a_1 = 2(1) - 5 = 2 - 5 = -3$

これは、$S_1$から求めた$a_1$と一致します。

したがって、$a_n = 2n - 5$は全ての$n$について成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n - 5$