A, B, Cが毎月末に10,000円ずつ積立貯金をしている。現在の貯金額はAが560,000円、Bが150,000円、Cが100,000円である。BとCの貯金の合計金額の2倍が、Aの貯金額と同額になるのは何ヶ月前、または何ヶ月後か。

1. 問題の内容

A, B, Cが毎月末に10,000円ずつ積立貯金をしている。現在の貯金額はAが560,000円、Bが150,000円、Cが100,000円である。BとCの貯金の合計金額の2倍が、Aの貯金額と同額になるのは何ヶ月前、または何ヶ月後か。

2. 解き方の手順

$x$ヶ月後のB, C, Aの貯金額をそれぞれ$B(x)$, $C(x)$, $A(x)$とする。

$x$ヶ月後のB, C, Aの貯金額はそれぞれ次のようになる。

$B(x) = 150000 + 10000x$

$C(x) = 100000 + 10000x$

$A(x) = 560000 + 10000x$

問題文より、以下の式が成り立つ$x$を求めればよい。

$2(B(x) + C(x)) = A(x)$

$2(150000 + 10000x + 100000 + 10000x) = 560000 + 10000x$

$2(250000 + 20000x) = 560000 + 10000x$

$500000 + 40000x = 560000 + 10000x$

$30000x = 60000$

$x = 2$

$x = -y$ヶ月前のB, C, Aの貯金額をそれぞれ$B(-y)$, $C(-y)$, $A(-y)$とする。

$x = -y$ヶ月前のB, C, Aの貯金額はそれぞれ次のようになる。

$B(-y) = 150000 - 10000y$

$C(-y) = 100000 - 10000y$

$A(-y) = 560000 - 10000y$

問題文より、以下の式が成り立つ$y$を求めればよい。

$2(B(-y) + C(-y)) = A(-y)$

$2(150000 - 10000y + 100000 - 10000y) = 560000 - 10000y$

$2(250000 - 20000y) = 560000 - 10000y$

$500000 - 40000y = 560000 - 10000y$

$-30000y = 60000$

$y = -2$

これは不適である。

2ヶ月後の場合：

$B(2) = 150000 + 10000 * 2 = 170000$

$C(2) = 100000 + 10000 * 2 = 120000$

$A(2) = 560000 + 10000 * 2 = 580000$

$2(B(2) + C(2)) = 2(170000 + 120000) = 2(290000) = 580000 = A(2)$

2ヶ月前の場合：

$B(-2) = 150000 - 10000 * 2 = 130000$

$C(-2) = 100000 - 10000 * 2 = 80000$

$A(-2) = 560000 - 10000 * 2 = 540000$

$2(B(-2) + C(-2)) = 2(130000 + 80000) = 2(210000) = 420000 \ne A(-2)$

3. 最終的な答え

2ヶ月後