次の式を計算します。 $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} + \frac{2x}{x^2+1} + \frac{4x^3}{x^4+1}$

1. 問題の内容

次の式を計算します。

$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} + \frac{2x}{x^2+1} + \frac{4x^3}{x^4+1}$

2. 解き方の手順

まず、最初の2つの項をまとめます。

$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{x^2 - 1}$

次に、結果と3番目の項をまとめます。

$\frac{2x}{x^2-1} + \frac{2x}{x^2+1} = \frac{2x(x^2+1) + 2x(x^2-1)}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{2x^3 + 2x + 2x^3 - 2x}{x^4 - 1} = \frac{4x^3}{x^4 - 1}$

最後に、結果と4番目の項をまとめます。

$\frac{4x^3}{x^4-1} + \frac{4x^3}{x^4+1} = \frac{4x^3(x^4+1) + 4x^3(x^4-1)}{(x^4-1)(x^4+1)} = \frac{4x^7 + 4x^3 + 4x^7 - 4x^3}{x^8 - 1} = \frac{8x^7}{x^8 - 1}$

3. 最終的な答え

$\frac{8x^7}{x^8 - 1}$