与えられた多項式の不定積分を求める問題です。具体的には、$\int (3x^4 - 4x^3 - 4x^2 + 5x - 3) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた多項式の不定積分を求める問題です。具体的には、$\int (3x^4 - 4x^3 - 4x^2 + 5x - 3) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

多項式の不定積分は、各項ごとに積分を行い、最後に積分定数 $C$ を加えることで求められます。

各項の積分は、$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ の公式を利用します。

ステップ1：各項を積分します。

$\int 3x^4 \, dx = 3 \int x^4 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{3}{5}x^5$

$\int -4x^3 \, dx = -4 \int x^3 \, dx = -4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = -x^4$

$\int -4x^2 \, dx = -4 \int x^2 \, dx = -4 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = -\frac{4}{3}x^3$

$\int 5x \, dx = 5 \int x \, dx = 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{5}{2}x^2$

$\int -3 \, dx = -3 \int 1 \, dx = -3x$

ステップ2：積分した各項を足し合わせ、積分定数 $C$ を加えます。

$\int (3x^4 - 4x^3 - 4x^2 + 5x - 3) \, dx = \frac{3}{5}x^5 - x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 3x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5}x^5 - x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 3x + C$