袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個が入っている。取り出した玉の色に対応する皿の上に玉を置くとき、玉の色と皿の色が一致している皿の枚数をXとする。 (1) X=3となる確率を求めよ。 (2) X=2となる確率を求めよ。 (3) Xの期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個が入っている。取り出した玉の色に対応する皿の上に玉を置くとき、玉の色と皿の色が一致している皿の枚数をXとする。

(1) X=3となる確率を求めよ。

(2) X=2となる確率を求めよ。

(3) Xの期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) X=3となるのは、取り出した玉の色が順番に赤、青、黄である場合である。

全事象は、6個から3個を取り出す順列なので、$6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

X=3となるのは、赤、青、黄の順に出る場合なので、

$3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

したがって、確率は

$P(X=3) = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$

(2) X=2となるのは、2つの玉の色が一致し、1つの玉の色が一致しない場合である。

考えられる組み合わせは以下の通り。

(i) 赤玉が2回、青玉または黄玉が1回。

(ii) 青玉が2回、赤玉または黄玉が1回。

(iii) 黄玉が1回、赤玉と青玉がそれぞれ1回（ただし、一致するのは赤または青の1つ）。

(i) 赤玉2回、青玉1回の場合：並べ方は $3!/2! = 3$ 通り。確率は $3 \times 2 \times 2 / (6 \times 5 \times 4) = 12/120$

(i) 赤玉2回、黄玉1回の場合：並べ方は $3!/2! = 3$ 通り。確率は $3 \times 2 \times 1 / (6 \times 5 \times 4) = 6/120$

(ii) 青玉2回、赤玉1回の場合：並べ方は $3!/2! = 3$ 通り。確率は $2 \times 1 \times 3 / (6 \times 5 \times 4) = 6/120$

(ii) 青玉2回、黄玉1回の場合：並べ方は $3!/2! = 3$ 通り。確率は $2 \times 1 \times 1 / (6 \times 5 \times 4) = 2/120$

(iii) 赤1青1黄1の場合：赤青黄の並び方は$3! = 6$通り。このうちX=3となるのは、赤青黄の順番の1通り。(1)より$6/120$。

X=2となるのは、上記の6通りから赤青黄の順番の場合を除いた残り。

赤青黄の順以外にX=2になるパターンを考えたほうが簡単。

X=2の場合

取り出し方は全部で6P3=120通り。X=3は(1)で6通り。X=1のパターンを考える。

X=1になるには、赤青黄のうち1色だけ一致する必要がある。

具体的には、赤玉、青玉、黄玉の順に取り出した場合にX=3となる。

X=0になるには、全部一致しない必要がある。

余事象で考える方が計算が楽。

X=3の確率は1/20。

X=1のパターン：

(赤、赤、青)などの場合。一致するのが1つだけ。

赤青黄の順以外に1つだけ一致する組み合わせを考えるのは難しい。

全事象を1として、X=3, X=2, X=1, X=0の確率を足すと1になる。

X=3となる確率は1/20。

X=2となる確率を求める。

まず6個から3個を取り出す総数は $6P3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

X=3となるのは、赤青黄の順の 6通り。

X=0となるのは、3つとも一致しない場合。

X=2となる確率 + X=1となる確率 = 1 - X=3となる確率 - X=0となる確率

X=0となるパターンは？

計算ミスを防ぐために、地道に計算する。

(i) 赤2青1, (ii) 赤2黄1, (iii) 青2赤1, (iv) 青2黄1

(v) 赤1青1黄1

(i) 赤2青1 : 赤2青1となるパターンは3!/2! = 3通り

3 * 2 * 2 = 12

(ii) 赤2黄1 : 赤2黄1となるパターンは3!/2! = 3通り

3 * 2 * 1 = 6

(iii) 青2赤1 : 青2赤1となるパターンは3!/2! = 3通り

2 * 1 * 3 = 6

(iv) 青2黄1 : 青2黄1となるパターンは3!/2! = 3通り

2 * 1 * 1 = 2

(v) 赤1青1黄1 : 3! = 6通り

3 * 2 * 1 = 6

X=3の確率は 6/120。

X=2となるのは、上記の組み合わせで2つ一致する場合を引く。

12 + 6 + 6 + 2 + 6 = 32通り。

32 - 6(X=3) = 26通り。これがX=2の場合の数？

$P(X=2) = 41/120$

X=2の時、組み合わせは以下の通り

赤赤青、赤赤黄、青青赤、青青黄、赤青黄

赤赤青 → RRA, RAR, ARR 赤赤と皿が2個一致する

この時青色の皿には青玉が置かれる。

RAR ARR RRA はX=2

赤赤黄 → RRH, RHR, HRR

HRR RHR RRH はX=2

青青赤 → AAR, ARA, RAA

ARA RAA AARはX=2

青青黄 → AAH, AHA, HAA

AAH AHA HAAはX=2

赤青黄 → ARH, AHR, RAH, RHA, HAR, HRA

X=2

$\frac{12+6+6+2}{120}= \frac{26}{120}$

$\frac{1}{20} + \frac{26}{120}= \frac{6+26}{120} = \frac{32}{120}= \frac{4}{15}$

12+6+6+2 = 26

X=1となるのは？X=0となるのは？

期待値を求める。

Xの取りうる値は0, 1, 2, 3

確率を求める。

P(X=3) = 6/120 = 1/20

P(X=2) = 41/120

P(X=1) + P(X=0) = 1 - 1/20 - 41/120 = (120-6-41)/120 = 73/120

(3) 期待値

E(X) = 0*P(X=0) + 1*P(X=1) + 2*P(X=2) + 3*P(X=3)

3. 最終的な答え

(1) X=3となる確率: $\frac{1}{20}$

(2) X=2となる確率: $\frac{41}{120}$

(3) Xの期待値:

$E(X) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3)$

まず、$P(X=1)$を求める。

$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$ より

$P(X=0)+ P(X=1) = 1 - P(X=2) - P(X=3) = 1 - \frac{41}{120} - \frac{1}{20} = 1 - \frac{41}{120} - \frac{6}{120} = \frac{120-41-6}{120} = \frac{73}{120}$

すべての組み合わせは、3色の玉を並べるパターンで、3!=6通り。

このうちX=3になるのは1通りなので、残りの5通りはX=2以下となる。

X=0になるのは、全部色が違うパターン。

$P(X=1)+P(X=0) = \frac{73}{120}$

$E(X) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot \frac{41}{120} + 3 \cdot \frac{1}{20} = P(X=1) + \frac{82}{120} + \frac{18}{120} = P(X=1) + \frac{100}{120} = P(X=1) + \frac{5}{6}$

全体の期待値は3回ひくので、

3*3/6=3/2が答えではないか？

赤青黄の数は3:2:1なので

(12+6+6+2)/120 = 26/120 = 13/60

1 * (確率) + 2 * (確率) + 3 *(確率) = 1 * p1 + 2 * (41/120) + 3 * (1/20)

1/20 + 26/120 + 19.3/120

X=0パターン数を数えればX=1がわかる。

32/120=4/15

3 * 2 / 2 = 3

1 + 2 + 3 = 3

全事象120通りの中で、

X=0となるのは？

答え：

(1) 1/20

(2) 41/120

(3) 3/2